私生子在法律上与婚生子女享有同等待遇，依法有继承父母遗产的权利。如果您认为审判结果或者程序有其他不合法合理的地方，依然享有起诉或上诉的权利。

《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条规定：非婚生子女享有与婚生子女同等的权利,任何组织或者个人不得加以危害和歧视。不直接抚养非婚生子女的生父或者生母,应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。

《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条规定：遗产按照下列顺序继承:(一)第一顺序:配偶、子女、父母;(二)第二顺序:兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。继承开始后,由第一顺序继承人继承,第二顺序继承人不继承;没有第一顺序继承人继承的,由第二顺序继承人继承。

本编所称子女,包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。
本编所称父母,包括生父母、养父母和有扶养关系的继父母。

本编所称兄弟姐妹,包括同父母的兄弟姐妹、同父异母或者同母异父的兄弟姐妹、养兄弟姐妹、有扶养关系的继兄弟姐妹。

也就是说，非婚生子女系第一顺位的法定继承人，被继承人去世后，依法享有继承的权利。

另外，《中华人民共和国民法典》第一千一百三十三条规定：自然人可以依照本法规定立遗嘱处分个人财产,并可以指定遗嘱执行人。自然人可以立遗嘱将个人财产指定由法定继承人中的一人或者数人继承。

如果父亲设立遗嘱将财产指定由私生子继承，如果遗嘱合法有效，那么，私生子可以依法继承遗嘱中财产。

但私生子依法享有继承权利，与其他继承人保留起诉或者上诉的权利并不冲突。如果认为审判结果或者程序有其他不合法合理的地方，依然享有起诉或上诉的权利。